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Rappèle des bases électroniques

THÉORÈMES FONDAMENTAUX


  1. LOIS DE KIRCHOFF.

    Les lois de Kirchoff sont les lois fondamentales qui régissent le fonctionnement de tout circuit électrique. Néanmoins, en pratique, elles sont peu appliquées telles quelles en électronique ; on leur préférera souvent les propriétés du diviseur de tension, et les théorèmes de thévenin et de superposition pour faire les calculs. A noter qu'on a besoin des lois de Kirchoff pour démontrer ces théorèmes.
            1. Loi des mailles.
          Une maille est une boucle fermée composée d'éléments réels ou virtuels (immatériels) présentant une différence de potentiel entre leurs bornes.
          La somme des tensions rencontrées lorsqu'on parcourt une boucle fermée est nulle.
          Cette loi est en quelque sorte la relation de Chasles de l'électricité.
          Pratiquement, on impose d'abord le sens des courant dans chaque élément de la maille. Ensuite, on représente les tensions par des flèches en respectant les règles suivantes :

          - convention récepteur pour les dipôles passifs avec le sens du courant qu'on a imposé.


          - respect de la polarité des générateurs (flèche au pôle positif). Attention : cette règle est absolue, même si le générateur est utilisé comme récepteur ! (Exception notable : les fcem).

          - une tension rencontrée sur la boucle peut correspondre à un élément immatériel (qui n'est ni un générateur, ni un composant passif : cas de la tension U dans l'exemple ci-dessous). Cette astuce permet de casser une boucle trop grande et de simplifier les calculs.
          Le sens et le début du parcours n'importent pas. On met un signe positif à toute tension rencontrée en direct (la flèche la représentant est orientée dans le sens de parcours de la boucle), sinon, le signe est négatif.

          - boucle 1 :


          - boucle 2


          Fig. 31. Circuit à deux mailles.

          Pour résoudre totalement le problème d'électricité posé, il va falloir déterminer autant d'équations indépendantes qu'on a d'inconnues (tensions et courants). La loi des mailles ne sera d'ailleurs pas suffisante pour définir toutes les équations nécessaires, il faudra aussi utiliser la loi des noeuds.
          Quand on a autant d'équations que d'inconnues, on peut résoudre le système. Il se peut alors qu'on obtienne des courants négatifs. Si le circuit ne comporte aucun élément appelé force contre électro-motrice (fcem) en électricité , le courant circule en fait dans le sens opposé à celui défini arbitrairement. Ceci ne remet pas en cause les résultats obtenus.
          Par contre, si le circuit contient des fcem, et que des courants négatifs apparaissent dans la solution, il faut impérativement retraiter tout le problème en modifiant le sens arbitraire des courants, et ceci jusqu'à ce que tous les courants soient positifs.
          En pratique, dans les problèmes d'électronique abordés dans le cadre de ce cours, il n'y aura jamais d'ambiguités : on n'aura que des composants passifs simples, et des sources de tension utilisées soit comme générateurs, soit comme récepteurs, mais dans tous les cas, leur polarité ne dépendra pas du sens du passage du courant.
          Par contre, la polarité des fcem dépend du sens du courant les traversant, ce qui fait que si on inverse celui-ci, le problème d'électricité à résoudre est différent !
          En électronique, on fera essentiellement attention aux inductances, qui ont un comportement de fcem.
          Nota : on trouvera dans la littérature une autre méthode de résolution de ces problèmes appelée résolution matricielle. Elle consiste à définir un courant de maille totalement fictif et n'ayant rien à voir avec la circulation réelle des courants (qui sont mesurables à l'aide d'un ampèremètre). On obtient les courants réels en sommant les courants fictifs communs aux différentes branches. Cette méthode est très efficace pour faire du calcul de circuits sur ordinateur (résolution de systèmes d'équations). Elle est déconseillée ici, car elle ne permet pas d'y voir clair dans un circuit électronique, ni surtout pas d'intuiter son fonctionnement !
          Simplement on a :
          Un signe moins ( - ) apparaît devant UR1 car le sens de la tension UR1 (flèche noire) est contraire au sens de parcourt de la maille (flèche bleue).

          2. Loi des noeuds.

          Un noeud est la jonction d'au moins trois conducteurs.
          Fig. 32. Noeud de courant.
          La somme des courants entrant dans le noeud est égale à la somme des courants en sortant. Ici, on a :
          B. THÉORÈME DE SUPERPOSITION.
          1. Définition.
          Ce théorème est fondamental. Il va permettre d'étudier des circuits comportant plusieurs générateurs (de tension ou de courant) en considérant l'influence de chaque générateur indépendamment des autres, ce qui va beaucoup simplifier la plupart des problèmes.
          Une des grandes applications est le schéma alternatif petits signaux, qu'on utilise très souvent sans même penser qu'il découle du théorème de superposition !
          Dans un circuit comportant plusieurs générateurs, la solution du problème (les tensions et courants inconnus) est la somme des solutions trouvées en ne considérant qu'un générateur à la fois.
          Pour ce faire, on remplace chaque source de tension parfaite par un court circuit, et chaque source de courant par un circuit ouvert, à l'exception de la source dont on veut connaître l'influence.
          Fig. 33. Problème global.

          Dans l'exemple ci-dessus, on va commencer par supprimer E2 et faire le calcul de la tension U avec E1 seul. On a alors un diviseur de tension :
          Fig. 34. 1ère étape.
          Pour avoir la contribution de E2, on fait ensuite la même chose en supprimant E1 :
          Fig. 35. 2ème étape.

          La solution totale U est égale à la somme des deux solutions précédemment trouvées :
          On voit bien ici l'intérêt de ce théorème : on applique deux fois la formule du diviseur de tension et le tour est joué ! Il n'y a pas eu besoin de recourir aux équations lourdes de la loi des mailles.
          Tout comme pour le théorème de thévenin, on utilisera ce théorème avec une extrême prudence quand on aura affaire à des sources commandées

          2. Application au schéma équivalent alternatif petits signaux.
          En général, on conçoit un circuit électronique à éléments discrets en deux temps : on calcule d'abord les éléments nécessaires à sa bonne polarisation, et ensuite, on étudie son comportement en petits signaux alternatifs (la fonction principale du montage) indépendamment de la polarisation (qui est nécessaire au bon fonctionnement des semi conducteurs, mais ne constitue pas une fin en soi).
          Ce faisant, on utilise implicitement le théorème de superposition, car les tensions et courants du montage seront toujours la somme des tensions et courants de polarisation et des signaux alternatifs.
          Ainsi, dans un circuit, on pourra se focaliser sur l'effet d'un seul générateur. Il sera indépendant de la contribution du ou des autres générateurs du circuit.
          Pour construire un schéma équivalent en alternatif d'un montage, on appliquera les règles suivantes :
          - On remplacera toutes les sources de tension continue parfaites par des court-circuits.
          - On remplacera toutes les sources de courant continu parfaites par des circuits ouverts.
          - On remplacera toutes les sources de tension continue et de courant continu ayant une résistance interne par leur résistance interne.
          - Les condensateurs de découplage seront remplacés par des court-circuits.
          - En général, on remplacera les condensateurs de liaison par des court-circuits.
          - Tous les dipôles non linéaires seront préalablement linéarisés pour nous permettre d'appliquer simplement la loi d'Ohm.
          On obtient ainsi le schéma simplifié qui va permettre l'étude de la fonctionnalité du montage. Application pratique, mode d'emploi.
          ATTENTION !!! : il faudra toujours se souvenir des hypothèses de base qui ont servi à faire ce schéma, et notamment le fait que quand on a un courant (ou une tension) négatif dans le schéma alternatif, dans le montage, en réalité, il sera positif, mais inférieur au courant (ou à la tension) de polarisation.
          On pourra avoir des surprises de fonctionnement qui n'ont pas été prévues par l'étude du schéma alternatif équivalent, de par les simplifications faites.
          Un montage pourra avoir ainsi un fonctionnement dissymétrique sur les ondes positives et négatives du signal alternatif. Il faudra faire particulièrement attention au fonctionnement de ce montage sur charge capacitive (certains circuits présentent une impédance de sortie dissymétrique : par exemple, dans une diode ou un transistor, le courant ne peut circuler physiquement que dans un seul sens. Le montage ne pourra donc pas "absorber" un courant négatif, mais seulement fournir un courant positif inférieur au courant de polarisation).
          Ne pas oublier non plus qu'on est en régime de petits signaux, et que si on pousse le montage aux limites, cette hypothèse devient fausse, et le comportement observé n'est plus ce qui a été prévu !
          En cas de problèmes, il faudra rechercher la cause de dysfonctionnement en considérant le schéma global, et non plus le schéma équivalent en alternatif.
          C. THÉORÈME DE THÉVENIN.
          Il a été dit au début de ce chapitre qu'on pouvait associer des dipôles de base en série et en parallèle de manière à former des dipôles plus complexes. Le théorème de thévenin permet de remplacer un montage complexe par un générateur de tension équivalent avec sa résistance interne équivalente et de calculer ces éléments.
          On pourra ainsi considérer ce montage comme une source de tension réelle et étudier plus simplement son comportement lorsqu'on le connecte à un autre dipôle.
          On peut aussi grâce à ce théorème aborder un schéma compliqué en isolant des morceaux et en les transformant en générateurs de thévenin équivalents. Cela permet souvent d'y voir plus clair dans un schéma complexe, et de simplifier et bien faire ressortir des blocs clé du schéma.
          Dans l'exemple suivant, il pourrait être intéressant de réduire la partie gauche du schéma (en pointillés) à un seul générateur équivalent.




          1. Fig. 36. Dipôle complexe.


            Le théorème de thévenin va permettre de réduire cette partie à un générateur ETh et sa résistance interne RTh de la manière suivante :

            - ETh est la tension à vide de la partie gauche du schéma : R3 est infinie.
            - RTh est la résistance équivalente vue entre les points A et B lorsque les sources de tension non commandées sont éteintes et que R3 est infinie.
            La tension équivalente se calcule ici aisément par le théorème de superposition :



            Fig. 37. Générateur de tension équivalent.



            La résistance est obtenue en remplaçant les générateurs de tension par des court-circuits (s'il y avait eu des générateurs de courant, on les aurait remplacés par des circuits ouverts) :



            Fig. 38. Résistance équivalente.



            Le circuit équivalent est le suivant, avec les valeurs de ETh et RTh calculées précédemment.
            Si maintenant, on veut utiliser la même partie gauche du schéma avec une charge différente de R3, le générateur de thévenin reste identique : il n'y a pas besoin de refaire de laborieux calculs avec les lois de Kirchoff !



            Fig. 39. Générateur de thévenin équivalent.


            Il existe le théorème dual de celui de thévenin : c'est le théorème de norton. On raisonne alors en termes de source de courant. Il est plus rarement utilisé en électronique, et donc, nous ne l'étudierons pas ici (voir cours d'électricité).
          D. TRANSFORMATION NORTON / THÉVENIN.
          1. Il est parfois intéressant de passer d'une représentation de générateur de tension à celle de générateur de courant.
            1. Si on reprend les figures 15 et 16 :





          On voit que la caractéristique de ces deux générateurs est similaire ; la pente de cette caractéristique est dans les deux cas égale à -1/Rg, où Rg est la résistance série du générateur de tension ou la résistance parallèle du générateur de courant.
          Il reste à déterminer la valeur de la tension duale du générateur de courant et vice versa.
          La solution est donnée par les figures 15 et 16 et dans le texte associé.
          Lorsqu'on transforme un générateur de courant (Ig, R) en générateur de tension (Eg, r), on a les relations :
          En effet, la tension à vide du générateur de courant est donnée lorsque tout le courant de la source est absorbé par la résistance parallèle interne R.
          Les résistances R et r sont égales (les pentes des caractéristiques sont les mêmes).
          Lorsqu'on transforme un générateur de tension (Eg, r) en générateur de courant (Ig, R), on a les relations :
          Ig est égal au courant de court-circuit de la source de tension (Eg, r).
          Fig. 40. Transformation norton / thévenin.

          Comme il a déjà été dit auparavant, ces calculs sont purement théoriques, et ils amènent à des valeurs de courant et tension équivalents irréalistes.
          Les calculs de tensions et courants dans un circuit comprenant des générateurs auxquels on aura appliqué la transformation thévenin/norton seront justes, mais le fonctionnement réel de ces sources sera très différent de celui décrit par le formalisme utilisé.
          Attention : Il ne faudra surtout pas faire de calculs de puissance dissipée à l'intérieur dessources avec le mauvais formalisme  : par exemple, calculer des puissances dissipées à l'intérieur d'une batterie en utilisant le modèle du générateur de courant équivalent amènerait à des valeurs totalement erronées !
          E. Théorème de Millman
          Considérons le circuit suivant :
          Pour chacune des branches nous pouvons écrire :
          Soit encore :
          En sommant ces relations il vient :
          Or nous avons : i1 + i2 + i3 = 0, donc :
          ou
          Ce résultat se généralise à un nombre quelconque de branches :
          La tension au nœud est la moyenne des tensions aux bornes de tous les dipôles pondérée par les conductances respectives.
          FLOI D'OHM
          La loi d'ohm s'énonce selon l'égalité suivante : U = R x I
          U représente la tension au borne du dipôle 
          R est la résistance de ce dipôle 
          I est l'intensité qui traverse ce dipôle

          On peut ainsi en déduire : R = U / I et I = U / R
          G. Théorème de Fourier
          Lorsque l'on un signal périodique non sinusoïdal de période w Fourier a montré qu'il était possible de le décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales de pulsations multiples de w et d'un terme constant ce qu'on a coutume d'appeler une série de Fourier. Ainsi un courant i=f(t) pourra s'exprimer sous la forme suivante:
          ce que l'on peut décomposer en 
          On peut montrer que

          Précisons que le coefficient I0 est parfois nul (valeur moyenne de f(t) nulle), que les coefficients An et Bn décroîssent rapidement avec n croissant et que parfois, soient les A ( cas de fonction f(t) impaire), soient les B ( cas de fonction f(t) paire) sont nuls. Ainsi pour étudier le comportement d'un réseau linéaire soumis à un signal périodique quelconque, il suffira généralement de calculer les 3 ou 4 premiers coefficients. Puis ensuite, dans chacune des branches, de superposer les 3 ou 4 courants sinusoïdaux obtenus.
          HThéorème de Kennely
          La simplification des réseaux passifs passe parfois par la transformation d'une maille à 3 branches en une étoile et vice versa. Cette transformation met en jeu les impédances Z des branches de l'étoile et les admittances y=1/z de la maille respectivement et vice versa.
              
          On montre que et inversement que et de même par permutation circulaire pour les autres grandeurs.
          Attention à ne pas confondre les Z et Y qui se rapportent à l'étoile et les z et y qui se rapportent à la maille  

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